10.2-Powers with Negative Exponents

10.2-Powers with Negative Exponents Important Formulae

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10.2 - Powers with Negative Exponents
  • A negative exponent indicates the reciprocal of the base raised to the opposite positive exponent.
  • For example, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, where $a$ is the base and $n$ is the exponent.
  • Negative exponents can be simplified by moving the base to the denominator or numerator.
  • Example: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
  • If the base is a fraction, apply the negative exponent to both numerator and denominator: $(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{b^n}{a^n}$

10.2 - Powers with Negative Exponents

The concept of negative exponents is an important part of the laws of exponents in mathematics. In this section, we will understand how to work with negative exponents and simplify expressions involving them.

When we deal with negative exponents, the basic idea is that negative exponents represent the reciprocal (or inverse) of the base raised to the positive exponent. The rule is:

If $a$ is any non-zero number and $n$ is a positive integer, then:

  • $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

This rule helps to simplify expressions with negative exponents. For example:

  • $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$
  • $3^{-4} = \frac{1}{3^4}$
  • $5^{-3} = \frac{1}{5^3}$

### Key Properties of Negative Exponents:

  • To simplify an expression with a negative exponent, move the base with the negative exponent from the numerator to the denominator or from the denominator to the numerator.
  • If the base is in the denominator and has a negative exponent, we can move it to the numerator to make the exponent positive.
  • For example, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, and similarly, $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n$.

### Examples:

  • $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
  • $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
  • $\frac{1}{x^{-3}} = x^3$

### Simplification with Negative Exponents:

When simplifying expressions that involve negative exponents, we follow the general rule of converting negative exponents into their reciprocal form.

For example, to simplify the expression $2^{-3} \times 4^{-2}$:

  • Write each base with a positive exponent: $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$ and $4^{-2} = \frac{1}{4^2}$.
  • Now, simplify: $2^{-3} \times 4^{-2} = \frac{1}{2^3} \times \frac{1}{4^2} = \frac{1}{2^3 \times 4^2}$.
  • Now calculate the powers: $2^3 = 8$ and $4^2 = 16$. So, the expression becomes $\frac{1}{8 \times 16} = \frac{1}{128}$.

### Negative Exponent with Fractional Bases:

When the base of a negative exponent is a fraction, the reciprocal rule still applies. For example:

  • $(\frac{3}{4})^{-2} = \frac{1}{(\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{9}$

### Important Notes:

  • Negative exponents help in expressing very small numbers (fractions) in a simplified manner.
  • Negative exponents should always be converted into positive exponents for easier calculation and interpretation.

By following these rules and practicing, students can easily handle exponents with negative powers in algebraic expressions.

10.2 - Powers with Negative Exponents

इस उपविषय में हम नकारात्मक घातांक (Negative Exponents) को समझेंगे। घातांक वाले संख्याओं में नकारात्मक घातांक होने पर उनकी गणना कैसे की जाती है, यह जानना महत्वपूर्ण है।

यदि कोई संख्या $a$ नकारात्मक घातांक $-n$ के साथ दी गई हो, तो इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं:

नकारात्मक घातांक के नियम:

  • यदि $a^{-n}$ दिया गया हो, तो इसे हम $\frac{1}{a^n}$ के रूप में लिख सकते हैं।

यहाँ पर $a$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक (Positive Integer) है। इसका मतलब है कि यदि किसी संख्या का घातांक नकारात्मक है, तो उस संख्या को पहले एकजुट करके उसकी घातांक वाली स्थिति का उलट कर दिया जाता है।

उदाहरण के लिए:

  • $2^{-3}$ को हम $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ के रूप में लिख सकते हैं।
  • $5^{-2}$ को हम $\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ के रूप में लिख सकते हैं।

यहाँ पर ध्यान देने योग्य बात यह है कि जब हम नकारात्मक घातांक को सकारात्मक घातांक में बदलते हैं, तो हम संख्या को उलट देते हैं। यानी, घातांक में परिवर्तन करने से संख्या का विभाजन हो जाता है।

नकारात्मक घातांक के साथ अन्य गुण:

  • अगर $a^{-m} \times a^{-n}$ हो, तो इसे हम $a^{-(m+n)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
  • अगर $\frac{a^{-m}}{a^{-n}}$ हो, तो इसे हम $a^{-(m-n)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
  • अगर $(a^{-m})^n$ हो, तो इसे हम $a^{-m \times n}$ के रूप में लिख सकते हैं।

यह नकारात्मक घातांक वाले संख्याओं का उपयोग करने के लिए जरूरी नियम हैं। इन नियमों का पालन करते हुए हम नकारात्मक घातांक वाले घातांक की समस्याओं को आसानी से हल कर सकते हैं।

उदाहरण के रूप में:

  • यदि $3^{-2} \times 3^{-3}$ दिया गया हो, तो इसे हम $3^{-(2+3)} = 3^{-5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
  • यदि $\frac{2^{-3}}{2^{-5}}$ दिया गया हो, तो इसे हम $2^{-(3-5)} = 2^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
  • यदि $(4^{-2})^3$ दिया गया हो, तो इसे हम $4^{-2 \times 3} = 4^{-6}$ के रूप में लिख सकते हैं।

इस प्रकार नकारात्मक घातांक वाले संख्याओं के नियमों को समझने से हमें घातांक से संबंधित समस्याओं को सरलता से हल करने में मदद मिलती है।