8.2-Multiplication of Algebraic Expressions: Introduction

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8.2 - Multiplication of Algebraic Expressions: Introduction

In this section, we will learn about the multiplication of algebraic expressions. Algebraic expressions are combinations of variables, constants, and operators like addition, subtraction, multiplication, and division. When we multiply these expressions, we follow certain rules and methods to get the correct result.

The basic principle behind the multiplication of algebraic expressions is to multiply each term of one expression with each term of the other expression. This is called the distributive property of multiplication over addition. Let's look at how we multiply algebraic expressions step by step.

1. Multiplying Monomials

A monomial is an algebraic expression with only one term. The multiplication of two monomials is done by multiplying the coefficients and adding the powers of like variables. For example:

If we have the monomials $2x$ and $3x^2$, their product is:

$2x \times 3x^2 = (2 \times 3)(x \times x^2) = 6x^{1+2} = 6x^3$.

2. Multiplying a Monomial with a Polynomial

A polynomial is an algebraic expression with more than one term. When we multiply a monomial by a polynomial, we distribute the monomial to each term of the polynomial. For example:

If we have the monomial $3x$ and the polynomial $x^2 + 4x + 5$, their product is:

$3x \times (x^2 + 4x + 5) = 3x \times x^2 + 3x \times 4x + 3x \times 5$

$= 3x^3 + 12x^2 + 15x$.

3. Multiplying Two Polynomials

When we multiply two polynomials, we apply the distributive property repeatedly. This is known as the FOIL method (First, Outer, Inner, Last) when multiplying binomials. For example:

If we have the binomials $(x + 2)$ and $(x + 3)$, their product is:

$(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)$

$= x^2 + 3x + 2x + 6$

$= x^2 + 5x + 6$.

4. Using the Distributive Property

The distributive property states that for any three terms $a$, $b$, and $c$, the following holds:

$a(b + c) = ab + ac$.

This property helps in multiplying terms of an algebraic expression. For example, multiplying $4(x + 5)$ using the distributive property:

$4(x + 5) = 4 \times x + 4 \times 5 = 4x + 20$.

5. Special Products

There are some standard formulas that are used when multiplying specific types of algebraic expressions. For example:

  • The square of a binomial: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
  • The product of a sum and difference: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

These formulas simplify the multiplication process and save time when dealing with algebraic expressions.

6. Example Problem

Let's consider the multiplication of the binomials $(2x + 3)$ and $(x + 4)$:

$(2x + 3)(x + 4) = 2x(x + 4) + 3(x + 4)$

$= 2x^2 + 8x + 3x + 12$

$= 2x^2 + 11x + 12$.

We have followed the distributive property here to multiply the two binomials.

As we move forward, we will explore more complex examples and problems involving the multiplication of algebraic expressions. The key to mastering these operations is practice and a solid understanding of the distributive property and special product formulas.

8.2 - एल्जेब्राईक अभिव्यक्तियों का गुणन: परिचय

गुणन (Multiplication) एक महत्वपूर्ण गणितीय प्रक्रिया है, जो हमें एल्जेब्राईक अभिव्यक्तियों को गुणा करने में मदद करती है। एल्जेब्राईक अभिव्यक्तियाँ उन समीकरणों या उनके हिस्सों को कहते हैं, जिनमें संख्या (Constants) और चरों (Variables) का मिश्रण होता है। गुणन के दौरान, हमें कुछ विशेष नियमों का पालन करना होता है। इस अनुभाग में हम एल्जेब्राईक अभिव्यक्तियों के गुणन से संबंधित कुछ मूलभूत बातों को समझेंगे।

एल्जेब्राईक अभिव्यक्तियों का गुणन करने के लिए सबसे पहले यह जानना जरूरी है कि क्या हम केवल चरों को गुणा कर रहे हैं या संख्याओं (Constants) और चरों दोनों को। एल्जेब्राईक अभिव्यक्तियों के गुणन में विशेष रूप से निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाता है:

1. गुणन का संघटन (Commutative Property of Multiplication)

गुणन का संघटन कहता है कि दो अभिव्यक्तियों का गुणन करते समय क्रम का कोई फर्क नहीं पड़ता। यानि, यदि हमें दो अभिव्यक्तियाँ $a$ और $b$ दी गई हैं, तो:

$ a \times b = b \times a $

2. गुणन का वितरण (Distributive Property)

गुणन का वितरण यह बताता है कि यदि हमें दो अभिव्यक्तियों का गुणन करना है, और इनमें से एक अभिव्यक्ति के हर सदस्य (Term) को दूसरी अभिव्यक्ति से गुणा करना है, तो हम यह काम हर सदस्य के साथ अलग-अलग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

$ (a + b) \times c = a \times c + b \times c $

3. चरों का गुणन (Multiplying Variables)

जब हम चरों को गुणा करते हैं, तो हम उनके पावर को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए:

$ x \times x = x^2 $

इसमें, $x$ का गुणन $x$ से हुआ है, जिससे $x$ की पावर 2 हो गई। इसी प्रकार, $x^m \times x^n = x^{m+n}$

4. संख्याओं और चरों का गुणन (Multiplying Constants and Variables)

जब हम एक संख्या (Constant) और एक चर (Variable) का गुणन करते हैं, तो उन्हें सामान्य रूप से गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए:

$ 3 \times x = 3x $

यहां, 3 एक स्थिरांक (constant) है और $x$ एक चर (variable) है।

5. अभिव्यक्तियों का गुणन (Multiplying Algebraic Expressions)

अब, हम अधिक जटिल एल्जेब्राईक अभिव्यक्तियों का गुणन करेंगे। उदाहरण के लिए:

$ (2x + 3)(x + 4) $

इसे गुणा करने के लिए हम प्रत्येक सदस्य को दूसरे के प्रत्येक सदस्य से गुणा करते हैं:

$ (2x + 3)(x + 4) = 2x \times x + 2x \times 4 + 3 \times x + 3 \times 4 $

जिससे हमें प्राप्त होता है:

$ 2x^2 + 8x + 3x + 12 = 2x^2 + 11x + 12 $

6. नकारात्मक संख्याओं के साथ गुणन (Multiplying with Negative Numbers)

जब हम नकारात्मक संख्याओं या चरों का गुणन करते हैं, तो हमें संकेत (sign) का ध्यान रखना होता है। उदाहरण के लिए:

$ (-3) \times 2 = -6 $

यदि दो नकारात्मक संख्याओं का गुणन किया जाए, तो परिणाम सकारात्मक होता है:

$ (-3) \times (-2) = 6 $

7. शून्य से गुणन (Multiplying by Zero)

जब किसी संख्या या अभिव्यक्ति को शून्य से गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा शून्य होता है। उदाहरण के लिए:

$ 0 \times x = 0 $

इसी प्रकार, $ 0 \times (x + y) = 0 $ होता है।