9.3-Solid Shapes
9.3-Solid Shapes Important Formulae
You are currently studying
Grade 8 → Math → Mensuration → 9.3-Solid Shapes
9.3 - Solid Shapes
- Solid shapes are three-dimensional figures with length, width, and height.
- Examples of solid shapes include cube, cuboid, sphere, cone, cylinder, and pyramid.
- Volume of cube: $V = a^3$, where $a$ is the side length.
- Volume of cuboid: $V = l \times b \times h$, where $l$, $b$, and $h$ are length, breadth, and height respectively.
- Surface area of cube: $A = 6a^2$, where $a$ is the side length.
- Surface area of cuboid: $A = 2(lb + bh + hl)$.
- Volume of cylinder: $V = \pi r^2 h$, where $r$ is radius and $h$ is height.
9.3 - Solid Shapes
Solid shapes, also known as 3D shapes, have three dimensions: length, width, and height. These shapes occupy space and have a volume. In this section, we will focus on the properties and formulas related to the surface area and volume of common solid shapes.
1. Cube
A cube is a solid shape where all six faces are squares and the length, width, and height are equal. The properties of a cube are:
- All faces are squares.
- All edges are of the same length.
- It has 6 faces, 12 edges, and 8 vertices.
Surface Area of a Cube: The surface area is the total area of all the square faces.
The formula for the surface area of a cube is:
Surface Area = $6a^2$, where $a$ is the length of an edge of the cube.
Volume of a Cube: The volume is the amount of space the cube occupies.
The formula for the volume of a cube is:
Volume = $a^3$, where $a$ is the length of the edge.
2. Cuboid
A cuboid is a solid shape with six rectangular faces. It is similar to a cube, but the lengths of the sides may vary. The properties of a cuboid are:
- Opposite faces are identical rectangles.
- It has 6 faces, 12 edges, and 8 vertices.
- Each of the three dimensions (length, width, and height) can differ.
Surface Area of a Cuboid: The surface area is the sum of the areas of all the rectangular faces.
The formula for the surface area of a cuboid is:
Surface Area = $2lw + 2lh + 2wh$, where $l$ is the length, $w$ is the width, and $h$ is the height of the cuboid.
Volume of a Cuboid: The volume is the amount of space inside the cuboid.
The formula for the volume of a cuboid is:
Volume = $lwh$, where $l$ is the length, $w$ is the width, and $h$ is the height.
3. Sphere
A sphere is a perfectly round 3D shape where every point on the surface is equidistant from the center. The properties of a sphere are:
- It has no edges or vertices.
- The surface is a smooth, continuous curve.
- It is defined by its radius.
Surface Area of a Sphere: The surface area is the total area of the spherical surface.
The formula for the surface area of a sphere is:
Surface Area = $4\pi r^2$, where $r$ is the radius of the sphere.
Volume of a Sphere: The volume is the amount of space the sphere occupies.
The formula for the volume of a sphere is:
Volume = $\frac{4}{3} \pi r^3$, where $r$ is the radius of the sphere.
4. Cylinder
A cylinder is a solid shape with two identical circular bases connected by a curved surface. The properties of a cylinder are:
- It has two parallel circular faces.
- It has one curved surface connecting the circular faces.
- The height and radius of the cylinder define its size.
Surface Area of a Cylinder: The surface area includes the area of both circular faces and the curved surface.
The formula for the surface area of a cylinder is:
Surface Area = $2\pi r^2 + 2\pi rh$, where $r$ is the radius of the circular base and $h$ is the height of the cylinder.
Volume of a Cylinder: The volume is the space inside the cylinder.
The formula for the volume of a cylinder is:
Volume = $\pi r^2 h$, where $r$ is the radius of the base and $h$ is the height of the cylinder.
5. Cone
A cone is a solid shape with a circular base and a single vertex (apex) opposite the base. The properties of a cone are:
- It has one circular face and one curved surface.
- The vertex is the point opposite the base.
- It is defined by the radius of the base and the height.
Surface Area of a Cone: The surface area includes the area of the circular base and the curved surface.
The formula for the surface area of a cone is:
Surface Area = $\pi r(r + l)$, where $r$ is the radius of the base and $l$ is the slant height of the cone.
Volume of a Cone: The volume is the space inside the cone.
The formula for the volume of a cone is:
Volume = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$, where $r$ is the radius of the base and $h$ is the height of the cone.
9.3 - ठोस आकार (Solid Shapes)
ठोस आकार (Solid shapes) या तीन आयामी आकार (3D Shapes) वे आकार होते हैं जिनके पास लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई (depth) होती है। इन्हें तीन आयामों में मापा जाता है। ठोस आकारों के उदाहरणों में घन, आयताकार घन, शंकु, गोला, सिलेंडर, और शंकु आदि शामिल हैं।
1. घन (Cube)
घन एक ऐसा ठोस आकार है, जिसके सभी किनारे समान होते हैं और सभी कोण 90° के होते हैं। इसका हर फेस एक वर्ग (square) होता है।
यदि घन का किनारा $a$ हो, तो घन का वॉल्यूम (Volume) और सतह क्षेत्र (Surface Area) निम्नलिखित होते हैं:
वॉल्यूम: $V = a^3$
सतह क्षेत्र: $A = 6a^2$
2. आयताकार घन (Cuboid)
आयताकार घन एक ठोस आकार है जिसका प्रत्येक फेस एक आयत (rectangle) होता है। इसके तीन आयाम होते हैं: लम्बाई (l), चौड़ाई (w), और ऊँचाई (h)।
यदि आयताकार घन की लम्बाई $l$, चौड़ाई $w$ और ऊँचाई $h$ हो, तो इसका वॉल्यूम और सतह क्षेत्र इस प्रकार होगा:
वॉल्यूम: $V = l \times w \times h$
सतह क्षेत्र: $A = 2(lw + lh + wh)$
3. गोला (Sphere)
गोला एक ऐसा ठोस आकार है जिसमें हर बिंदु केन्द्र से समान दूरी पर होता है। गोले का कोई फेस नहीं होता।
यदि गोले का त्रिज्या $r$ हो, तो इसका वॉल्यूम और सतह क्षेत्र निम्नलिखित होते हैं:
वॉल्यूम: $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$
सतह क्षेत्र: $A = 4 \pi r^2$
4. शंकु (Cone)
शंकु एक ठोस आकार है जिसमें एक गोल आधार (circular base) होता है और एक बिंदु से शिखर (vertex) जुड़ा होता है।
यदि शंकु की त्रिज्या $r$, ऊँचाई $h$ और कर्ण (slant height) $l$ हो, तो इसका वॉल्यूम और सतह क्षेत्र इस प्रकार होगा:
वॉल्यूम: $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
सतह क्षेत्र: $A = \pi r (r + l)$
5. सिलेंडर (Cylinder)
सिलेंडर एक ठोस आकार है जिसमें दो समान गोल आधार होते हैं, जो ऊँचाई में जुड़े होते हैं।
यदि सिलेंडर की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ हो, तो इसका वॉल्यूम और सतह क्षेत्र इस प्रकार होगा:
वॉल्यूम: $V = \pi r^2 h$
सतह क्षेत्र: $A = 2 \pi r (r + h)$
6. पिरामिड (Pyramid)
पिरामिड एक ठोस आकार है जिसमें एक बहुभुज (polygonal) आधार और एक बिंदु (vertex) शिखर के रूप में होता है। पिरामिड के विभिन्न प्रकार होते हैं जैसे त्रिकोणीय पिरामिड, चौकोणीय पिरामिड आदि।
यदि पिरामिड का आधार क्षेत्र $A_{\text{base}}$ और ऊँचाई $h$ हो, तो इसका वॉल्यूम इस प्रकार होता है:
वॉल्यूम: $V = \dfrac{1}{3} A_{\text{base}} h$
7. त्रिकोणीय पिरामिड (Triangular Pyramid)
त्रिकोणीय पिरामिड एक प्रकार का पिरामिड होता है जिसका आधार त्रिकोण होता है।
यदि त्रिकोणीय पिरामिड का आधार क्षेत्र $A_{\text{base}}$ और ऊँचाई $h$ हो, तो इसका वॉल्यूम इस प्रकार होता है:
वॉल्यूम: $V = \dfrac{1}{3} A_{\text{base}} h$