10.4-Use of Exponents to Express Small Numbers in Standard Form
10.4-Use of Exponents to Express Small Numbers in Standard Form Important Formulae
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10.4 - Use of Exponents to Express Small Numbers in Standard Form
- Standard form is a way to express very small or very large numbers.
- It is expressed as a product of a number between 1 and 10 and a power of 10.
- For example, $0.00045$ can be written as $4.5 \times 10^{-4}$.
- The exponent indicates how many times the decimal point is moved.
- Negative exponents are used for numbers less than 1.
- To convert, shift the decimal point to create a number between 1 and 10, then count the places moved.
- Example: $0.0003 = 3 \times 10^{-4}$.
10.4 - Use of Exponents to Express Small Numbers in Standard Form
In this section, we will learn how exponents are used to express very small numbers in a more convenient and compact form known as the Standard Form.
The standard form (also known as scientific notation) is a way to represent very small or very large numbers using powers of 10. The general form of a number in standard form is:
Standard Form = $m \times 10^n$, where $m$ is a number greater than or equal to 1 but less than 10, and $n$ is an integer.
Representing Small Numbers in Standard Form
When a number is very small, it can be represented as a power of 10 with a negative exponent. This allows us to express the number in a more manageable way. For example:
Consider the number 0.00034. To express it in standard form, we first need to move the decimal point to a position after the first non-zero digit.
The decimal point in 0.00034 needs to be moved 4 places to the right to make the number 3.4. So, we write:
0.00034 = $3.4 \times 10^{-4}$
Here, the exponent $-4$ indicates how many places the decimal point has been moved to the right. Since the original number is less than 1, the exponent is negative.
Steps to Convert Small Numbers to Standard Form:
- Identify the first non-zero digit in the number.
- Move the decimal point after this digit so that the number is between 1 and 10.
- Count how many places the decimal point has been moved.
- If the decimal point is moved to the right, the exponent of 10 is negative. If it is moved to the left, the exponent of 10 is positive.
- Write the number in the form $m \times 10^n$.
Examples:
- 0.00056 = $5.6 \times 10^{-4}$
- 0.0000078 = $7.8 \times 10^{-6}$
- 0.000000092 = $9.2 \times 10^{-8}$
These examples show how small numbers are written in the standard form using negative exponents of 10.
Why Use Standard Form?
Standard form is very useful when dealing with very large or very small numbers. It simplifies arithmetic operations and helps us avoid writing long strings of zeros.
For example, the number 0.000000000567 is much easier to work with as $5.67 \times 10^{-10}$.
In this way, the standard form makes mathematical calculations simpler and more efficient, especially when dealing with numbers that are too small to write out fully.
Practice Problems:
Convert the following numbers into standard form:
- 0.0003
- 0.000056
- 0.00000042
- 0.0000089
10.4 - छोटे अंकों को मानक रूप में व्यक्त करने के लिए घातांकों का उपयोग
इस खंड में, हम सीखेंगे कि कैसे छोटे अंकों को मानक रूप (Standard Form) में व्यक्त किया जा सकता है। मानक रूप का उपयोग तब किया जाता है जब हमें बहुत छोटे या बहुत बड़े अंकों को सरल और संक्षिप्त रूप में लिखना होता है। इसे घातांकों (Exponents) का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।
मानक रूप (Standard Form) वह रूप है जिसमें किसी संख्या को एक गुणांक (Coefficient) और एक घातांक (Exponent) के रूप में लिखा जाता है। किसी संख्या को मानक रूप में लिखने के लिए, इसे 10 की शक्ति के रूप में लिखा जाता है।
घातांक का उपयोग:
चलिए हम जानते हैं कि छोटे अंकों को मानक रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है। यदि कोई संख्या बहुत छोटी होती है, तो उसे 10 की नकारात्मक घातांक के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए:
- 0.000345 को मानक रूप में लिखा जाएगा: $3.45 \times 10^{-4}$
- 0.00000912 को मानक रूप में लिखा जाएगा: $9.12 \times 10^{-6}$
यहां, हम देखते हैं कि संख्याओं को 10 की नकारात्मक घातांक के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि संख्या को दशमलव के दाएं स्थान पर स्थानांतरित किया गया है।
विधि:
किसी छोटे अंक को मानक रूप में व्यक्त करने के लिए निम्नलिखित कदमों का पालन करें:
- संख्या को 1 और 10 के बीच ले आएं (यदि आवश्यक हो तो दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करें)।
- घातांक की शक्ति निर्धारित करें। यदि संख्या को दाएं स्थानांतरित किया गया है, तो घातांक नकारात्मक होगा।
- संख्या को 10 की शक्ति के रूप में लिखें।
उदाहरण:
उदाहरण 1: $0.00000567$ को मानक रूप में व्यक्त करें।
हम इस संख्या को 1 और 10 के बीच ले आएं: $5.67$. अब, हमें दशमलव बिंदु को 6 स्थान दाएं स्थानांतरित करना होगा, तो घातांक होगा $-6$। इसलिए, यह संख्या मानक रूप में लिखी जाएगी: $5.67 \times 10^{-6}$।
उदाहरण 2: $0.000000123$ को मानक रूप में व्यक्त करें।
इस संख्या को 1 और 10 के बीच लाने पर हमें यह मिलेगा: $1.23$. अब, दशमलव बिंदु को 8 स्थान दाएं स्थानांतरित करना होगा, तो घातांक होगा $-8$। इसलिए, यह संख्या मानक रूप में होगी: $1.23 \times 10^{-8}$।
ध्यान रखने योग्य बातें:
- यदि संख्या छोटी है, तो घातांक नकारात्मक होता है।
- मानक रूप में संख्या को 1 और 10 के बीच लाना जरूरी होता है।
- ध्यान दें कि घातांक की शक्ति यह दर्शाती है कि दशमलव को कितनी स्थानों तक स्थानांतरित किया गया है।