8.3-Multiplying a Monomial by a Monomial

8.3-Multiplying a Monomial by a Monomial Important Formulae

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8.3 - Multiplying a Monomial by a Monomial

A monomial is an algebraic expression that consists of only one term. It may include variables, coefficients, and exponents. The general form of a monomial is:

$ ax^m $

where a is the coefficient, x is the variable, and m is the exponent of the variable.

In this subtopic, we will learn how to multiply two monomials. When multiplying a monomial by another monomial, we apply the following steps:

Steps for Multiplying Monomials:
  1. Multiply the coefficients: The coefficients (numbers) of both monomials are multiplied together.
  2. Multiply the variables: If both monomials contain the same variable, the powers of the variable are added. For different variables, the variables are multiplied together.
  3. Simplify the expression: After multiplication, simplify the expression by combining like terms if necessary.
Example 1:

Multiply the following monomials:

$ 4x^3 \times 2x^2 $

Step 1: Multiply the coefficients: $ 4 \times 2 = 8 $

Step 2: Multiply the variables: $ x^3 \times x^2 = x^{3+2} = x^5 $

Step 3: Combine the results: The product is $ 8x^5 $

Final Answer: $ 4x^3 \times 2x^2 = 8x^5 $

Example 2:

Multiply the following monomials:

$ -3a^2b \times 5ab^3 $

Step 1: Multiply the coefficients: $ -3 \times 5 = -15 $

Step 2: Multiply the variables:

  • For $a^2 \times a$, we add the exponents: $ a^{2+1} = a^3 $
  • For $b \times b^3$, we add the exponents: $ b^{1+3} = b^4 $

Step 3: Combine the results: The product is $ -15a^3b^4 $

Final Answer: $ -3a^2b \times 5ab^3 = -15a^3b^4 $

General Formula for Multiplying Monomials:

When multiplying monomials, the general rule is:

$ (ax^m) \times (bx^n) = (a \times b) \times x^{m+n} $

Here, a and b are the coefficients, x is the common variable, and m and n are the exponents of the variables.

Properties of Multiplying Monomials:
  • Commutative Property: The order in which you multiply two monomials does not matter.
  • Associative Property: You can group monomials in any way when multiplying.
  • Distributive Property: When multiplying a monomial by a sum of monomials, distribute the monomial to each term.
Example 3:

Use the distributive property to multiply:

Multiply $ 3x $ by the expression $ (2x + 5) $:

Step 1: Distribute $ 3x $ to each term inside the parentheses:

$ 3x \times 2x = 6x^2 $

$ 3x \times 5 = 15x $

Step 2: Combine the results:

Final Answer: $ 3x(2x + 5) = 6x^2 + 15x $

8.3- एक मोनोमियल द्वारा मोनोमियल का गुणन

जब हम एक मोनोमियल को दूसरे मोनोमियल से गुणा करते हैं, तो इसका मतलब होता है कि दोनों को गुणा करके एक नया मोनोमियल बनाना। इस प्रक्रिया में दो मुख्य बातें ध्यान में रखनी होती हैं: (i) समान प्रकार के तत्वों को गुणा करना, (ii) समान घातों को जोड़ना।

मनोमियल एक ऐसा अलजेब्रिक अभिव्यक्ति होता है जिसमें एक या अधिक चर (variables) होते हैं और यह गुणा या श्रेणीबद्ध संयोजन (constant) का रूप होता है। उदाहरण के लिए, $3x$ या $4xy$ ये दोनों ही मोनोमियल हैं।

गुणन का तरीका

मनोमियल द्वारा मोनोमियल का गुणन करते समय हमें हर एक को गुणा करने की विधि का पालन करना होता है। इसे विस्तार से समझते हैं:

यदि हमारे पास दो मोनोमियल हैं:

1. $a x^m$ और 2. $b x^n$

तो इन दोनों का गुणन होगा:

$a x^m \times b x^n = (a \times b) \times x^{m+n}$

यहाँ, $a$ और $b$ दो सांख्यिकांक (constants) हैं, और $x^m$ और $x^n$ में $x$ का घात $m$ और $n$ हैं। गुणन करते समय, हम स्थिरांकों को गुणा करते हैं और $x$ के घातों को जोड़ते हैं।

उदाहरण

1. $3x^2 \times 4x^3$

यहां पर, स्थिरांकों $3$ और $4$ को गुणा किया जाएगा और $x$ के घातों को जोड़ा जाएगा।

गुणन होगा: $3 \times 4 \times x^{2+3} = 12x^5$

2. $5a^3 \times 2a^4$

यहां पर स्थिरांकों $5$ और $2$ को गुणा किया जाएगा और $a$ के घातों को जोड़ा जाएगा।

गुणन होगा: $5 \times 2 \times a^{3+4} = 10a^7$

विशेष स्थिति

यदि दोनों मोनोमियल में कोई विशेष प्रकार का चर (variable) नहीं है, तो हम केवल स्थिरांकों का गुणन करेंगे। जैसे:

1. $7 \times 9 = 63$

गुणन के सामान्य नियम
  • मनोमियल में घातों को जोड़ने के लिए समान प्रकार के चर होने चाहिए।
  • गुणन के दौरान केवल स्थिरांकों और समान घातों वाले चर को गुणा करें।
  • यदि दोनों मोनोमियल में अलग-अलग चर हैं, तो उन चर को साथ में गुणा नहीं किया जा सकता।
अलंकरण

हम इसे एक वास्तविक उदाहरण से समझते हैं:

यदि हमें दो मोनोमियल दिए जाएं: $3x^2y^3$ और $2x^3y^2$

इन दोनों का गुणन होगा:

$3x^2y^3 \times 2x^3y^2 = (3 \times 2) \times x^{2+3} \times y^{3+2} = 6x^5y^5$

यहां, स्थिरांक $3$ और $2$ का गुणन $6$ हुआ और $x$ के घातों को जोड़कर $x^5$ और $y$ के घातों को जोड़कर $y^5$ प्राप्त हुआ।

अर्थात, मोनोमियल का गुणन करते समय हमें:
  • सांख्यिकांकों को गुणा करना है।
  • समान चर (variables) के घातों को जोड़ना है।