11.3-Inverse Proportion
11.3-Inverse Proportion Important Formulae
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11.3 - Inverse Proportion
- Inverse proportion means when one quantity increases, the other decreases.
- Mathematically, if $x$ is inversely proportional to $y$, then $x \propto \frac{1}{y}$ or $x = \frac{k}{y}$, where $k$ is a constant.
- When two quantities are in inverse proportion, their product remains constant. That is, $x \times y = k$.
- Example: If 5 workers take 20 days to complete a task, then 10 workers will take 10 days, as work done is inversely proportional to number of workers.
11.3 - Inverse Proportion
Inverse proportion is a concept in mathematics where one quantity increases while the other decreases, such that their product remains constant. This relationship is opposite to direct proportion, where both quantities change in the same manner. In inverse proportion, if one quantity increases, the other must decrease, and vice versa, to maintain the constant product.
In simpler terms, two quantities are said to be in inverse proportion if increasing one leads to a decrease in the other, while the product of the two quantities remains unchanged.
Mathematically, if two quantities, say $x$ and $y$, are inversely proportional, we express this relationship as:
Inverse Proportion Formula: $x \propto \frac{1}{y}$ or equivalently, $x \cdot y = k$ where $k$ is a constant of proportionality.
From this, we can derive the equation for inverse proportion. If $x$ is inversely proportional to $y$, then for any two values $x_1$ and $x_2$ corresponding to $y_1$ and $y_2$, we can write:
$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k$
Thus, the product of the two quantities remains constant for all pairs of values of $x$ and $y$.
For example, if $x = 5$ and $y = 2$, then their product is $5 \cdot 2 = 10$. If $x$ changes to $10$, the corresponding value of $y$ must be $1$ (because $10 \cdot 1 = 10$), keeping the product constant.
Inverse proportion can also be expressed in terms of ratios. If $x$ and $y$ are inversely proportional, then:
$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$
This property is important because it shows the relationship between the two variables when their product is constant, and it allows us to solve problems involving inverse proportion by simply setting up and solving equations.
Some real-life examples of inverse proportion include:
- The time taken to complete a task and the number of workers. If the number of workers increases, the time to finish the task decreases, assuming the total work remains constant.
- The speed of a vehicle and the time taken to cover a fixed distance. As speed increases, the time taken decreases.
Inverse proportion is widely used in solving problems related to rates, speeds, work, and time, among others. Understanding the concept and its formulae can help solve a variety of word problems in both mathematics and real-world applications.
11.3-इनवर्स प्रपोर्शन
इनवर्स प्रपोर्शन (Inverse Proportion) वह स्थिति होती है जब दो मात्राएँ एक-दूसरे के साथ विपरीत रूप से संबंधित होती हैं। अर्थात, जब एक मात्रा बढ़ती है, तो दूसरी मात्रा घटती है, और जब एक मात्रा घटती है, तो दूसरी मात्रा बढ़ती है।
अगर दो मात्राएँ $x$ और $y$ इनवर्सली प्रपोर्शनल हैं, तो उनका गुणनफल स्थिर रहेगा। इसका मतलब है कि:
समीकरण:
$x \times y = k$
यहाँ, $k$ एक स्थिरांक है। इसका मतलब है कि अगर $x$ बढ़ता है, तो $y$ घटता है, और यदि $x$ घटता है, तो $y$ बढ़ता है।
इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:
$x \propto \dfrac{1}{y}$
यहाँ, "$\propto$" का अर्थ है "प्रपोर्शनल" (related)। इस संबंध में, जब $x$ और $y$ के मान बदलते हैं, तो उनका गुणनफल हमेशा $k$ के बराबर रहता है।
इनवर्स प्रपोर्शन के उदाहरण
मान लीजिए एक कार 3 घंटे में 120 किलोमीटर यात्रा करती है। अब अगर कार की गति को दोगुना कर दिया जाए, तो यात्रा का समय आधा हो जाएगा। इसका मतलब है कि दूरी और समय इनवर्स प्रपोर्शनल हैं।
उदाहरण के रूप में, अगर $x$ और $y$ दो इनवर्स प्रपोर्शनल मात्राएँ हैं, तो उनके बीच का संबंध इस प्रकार होगा:
$x_1 \times y_1 = x_2 \times y_2 = k$
यहाँ, $x_1$, $y_1$ और $x_2$, $y_2$ अलग-अलग स्थिति के लिए मान हैं, और $k$ एक स्थिरांक है।
इनवर्स प्रपोर्शन का उपयोग
इनवर्स प्रपोर्शन का उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन स्थितियों में किया जाता है। कुछ सामान्य उदाहरण इस प्रकार हैं:
- गति और समय के बीच संबंध।
- किसी टैंक में पानी भरने का समय और पाइप का व्यास।
- किसी वस्तु के मूल्य और उसकी आपूर्ति के बीच संबंध।
समीकरण को हल करने की प्रक्रिया
यदि किसी समस्या में इनवर्स प्रपोर्शन के आधार पर समीकरण दिया गया हो, तो उसे हल करने की प्रक्रिया निम्नलिखित है:
- प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर $x$ और $y$ के मानों को पहचानें।
- यह सुनिश्चित करें कि उनका गुणनफल स्थिरांक $k$ के बराबर है।
- समस्या में दिए गए किसी नए मान से संबंधित समीकरण तैयार करें और उसे हल करें।
उदाहरण के लिए, यदि $x_1 = 4$ और $y_1 = 5$ हों, तो इनका गुणनफल होगा:
$4 \times 5 = k = 20$
अब यदि $x_2 = 8$ हो, तो $y_2$ का मान निम्नलिखित होगा:
$8 \times y_2 = 20$
अतः, $y_2 = \dfrac{20}{8} = 2.5$
इस प्रकार, इनवर्स प्रपोर्शन में, जब एक मात्रा बदलती है, तो दूसरी मात्रा उसी अनुपात में बदलती है ताकि उनका गुणनफल समान रहे।