12.3-Division of Algebraic Expression

12.3-Division of Algebraic Expression Important Formulae

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12.3 - Division of Algebraic Expressions
  • Division of algebraic expressions involves dividing one expression by another.
  • For division, use long division or synthetic division methods.
  • If dividing polynomials, ensure terms have matching degrees for easy division.
  • When dividing a monomial by a monomial, divide the coefficients and subtract the exponents of like variables. Example: $ \frac{6x^3}{2x} = 3x^2 $
  • For dividing a polynomial by a binomial, use the polynomial long division method.
  • Algebraic expressions can be simplified after division by canceling common factors.

12.3 - Division of Algebraic Expression

Division of algebraic expressions involves the process of dividing one algebraic expression by another, similar to how numbers are divided. However, when dividing algebraic expressions, special rules and techniques such as factorization and simplification are used. The basic principle is to express the division in terms of factors that can be canceled out. Let's discuss the division of algebraic expressions in detail.

The division of algebraic expressions is typically performed by:

  • Using the long division method.
  • Using the factorization method.
  • Applying the rules of exponents for terms with the same base.

1. Long Division of Polynomials

When dividing a polynomial by another polynomial, the division is performed step by step, similar to long division of numbers. For example, dividing $4x^3 + 6x^2 + 3x$ by $2x$ can be done as follows:

Divide the leading term of the dividend by the leading term of the divisor:

$\frac{4x^3}{2x} = 2x^2$

Multiply the divisor by the result and subtract from the original polynomial to get the remainder. Repeat this process until you get a quotient and remainder.

2. Dividing Using Factorization

Another method of division is by factoring both the numerator and the denominator. Once factored, common factors can be canceled out. For example:

Divide $\frac{6x^2 + 3x}{3x}$ by factoring the numerator:

The numerator $6x^2 + 3x$ can be factored as:

$6x^2 + 3x = 3x(2x + 1)$

So, the expression becomes:

$\frac{3x(2x + 1)}{3x}$

Now, cancel the common factor $3x$ in both the numerator and the denominator, leaving:

$2x + 1$

This method simplifies the division process considerably and helps in reducing the complexity of algebraic expressions.

3. Dividing Algebraic Expressions with Exponents

When dividing expressions that involve exponents, we apply the rules of exponents. The general rule for division of terms with the same base is:

If $a^m \div a^n = a^{m-n}$, where $m$ and $n$ are the exponents and $a$ is the base.

For example, dividing $x^5$ by $x^2$ would give:

$\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$

This rule applies for any variables and constants with exponents.

4. Important Points to Remember

  • When dividing polynomials, the long division method is often used when direct factorization is not possible.
  • Always check if common factors can be factored out before proceeding with the division.
  • For expressions with exponents, remember to apply the exponent laws carefully, especially when dividing terms with the same base.
  • Factorization can significantly simplify the division process, so always try to factor both the numerator and the denominator first.

In division, it is essential to follow these rules carefully to avoid mistakes and to simplify expressions as much as possible. Division of algebraic expressions is a crucial skill for solving algebraic problems efficiently.

12.3 - विभाजन की श्रेणी (Division of Algebraic Expression)

अल्जेब्रिक अभिव्यक्तियों का विभाजन एक महत्वपूर्ण प्रक्रिया है जो मूल रूप से गुणन और भाग की परिकल्पना पर आधारित है। इसे हम दो अल्जेब्रिक अभिव्यक्तियों के बीच विभाजन के रूप में समझ सकते हैं। इस खंड में हम अल्जेब्रिक अभिव्यक्तियों के विभाजन के नियमों और विधियों पर चर्चा करेंगे।

जब हम एक अल्जेब्रिक अभिव्यक्ति को दूसरी अल्जेब्रिक अभिव्यक्ति से विभाजित करते हैं, तो हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि विभाजन की प्रक्रिया गुणन की प्रक्रिया की तरह ही होती है। इसका मतलब यह है कि हम विभाजन को पुनः गुणन में बदल सकते हैं यदि विभाज्य और भाजक को उपयुक्त रूप से लिखा जाए।

विभाजन की प्रक्रिया (Division Process)

अल्जेब्रिक अभिव्यक्तियों का विभाजन समान रूप से नंबरों के विभाजन की तरह होता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें $ \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} $ जैसे रूप में विभाजन करना है, तो हम सामान्यत: इसे विभाजन विधियों के द्वारा हल करेंगे। सबसे सामान्य विधि दी जाती है:

  • समान मानों (like terms) की पहचान करें।
  • समान गुणांक के साथ गुणन करें ताकि विभाजन को सरल बनाया जा सके।
  • रिवर्स (Reverse) ऑपरेशन का पालन करें, जैसे कि गुणन को विभाजन में बदलना।
उदाहरण 1: विभाजन द्वारा अल्जेब्रिक अभिव्यक्ति

माना कि हमारे पास दो अभिव्यक्तियाँ हैं: $ 6x^2 + 11x + 3 $ और $ 3x + 1 $। हमें इन दोनों को विभाजित करना है। इसे हम निम्नलिखित तरीके से हल कर सकते हैं:

        2x + 3
    ________________
3x + 1 | 6x^2 + 11x + 3
          - (6x^2 + 2x)
    ___________________
                9x + 3
                - (9x + 3)
    ___________________
                      0

इस प्रकार, विभाजन के बाद हमें $ 2x + 3 $ मिलता है, और शेषफल 0 होता है।

विभाजन के सामान्य नियम (General Rules of Division)

अल्जेब्रिक अभिव्यक्तियों के विभाजन के कुछ सामान्य नियम होते हैं:

  • यदि दो समान अभिव्यक्तियों को विभाजित किया जाता है, तो उनका भाग 1 होगा। जैसे कि $ \frac{a}{a} = 1 $।
  • यदि एक अभिव्यक्ति को शून्य से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम अपरिभाषित होगा। जैसे कि $ \frac{a}{0} $ अपरिभाषित होता है।
  • भागफल का सही निर्धारण करने के लिए विभाजन को पुनः गुणन में बदलने की कोशिश करें।
उदाहरण 2: विभाजन द्वारा अल्जेब्रिक अभिव्यक्ति

माना कि हमें निम्नलिखित विभाजन करना है:

$$ \frac{4x^2 + 8x}{2x} $$

इसको हम प्रत्येक पद को $ 2x $ से विभाजित करके हल कर सकते हैं:

$$ = \frac{4x^2}{2x} + \frac{8x}{2x} $$ $$ = 2x + 4 $$

इसलिए, $ \frac{4x^2 + 8x}{2x} = 2x + 4 $।

ध्यान देने योग्य बातें (Important Points to Remember)
  • अल्जेब्रिक अभिव्यक्तियों का विभाजन करते समय समीकरण के हर पद का विभाजन ध्यान से करें।
  • जब भी विभाजन के बाद शेषफल 0 आता है, तो इसका मतलब है कि भाजक अभिव्यक्ति मूल रूप से गुणक है।
  • यदि विभाजन में कोई शेषफल है, तो इसे छोड़कर केवल भागफल को ही महत्वपूर्ण माना जाता है।

यह विभाजन की प्रक्रिया की मूल बातें थीं, जिन्हें आप अल्जेब्रिक अभिव्यक्तियों के विभाजन में प्रयोग कर सकते हैं।