7.3-Rate of Change of Velocity
7.3-Rate of Change of Velocity Important Formulae
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- Define accelerated motion and compute the change in velocity of a moving object in a non-uniform motion.
The rate of change of velocity is a fundamental concept in physics that describes how an object's velocity changes over time. This concept is closely related to acceleration, which is defined as the change in velocity per unit time.
Definitions
- Velocity: Velocity is a vector quantity that describes the rate of change of displacement. It includes both speed and direction.
- Acceleration: Acceleration is the rate at which an object changes its velocity. It can be positive (speeding up) or negative (slowing down, also known as deceleration).
Formula for Acceleration
The mathematical representation of acceleration ($a$) is given by the formula:
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
Where:
- $a$ is the acceleration (measured in meters per second squared, m/s²).
- $\Delta v$ is the change in velocity (final velocity $v_f$ minus initial velocity $v_i$).
- $\Delta t$ is the time interval during which the change occurs (measured in seconds, s).
Example Calculation of Acceleration
For example, if a car accelerates from an initial velocity of $10 \, \text{m/s}$ to a final velocity of $25 \, \text{m/s}$ over a period of $5 \, \text{s}$, the acceleration can be calculated as follows:
1. Calculate the change in velocity:
$\Delta v = v_f - v_i = 25 \, \text{m/s} - 10 \, \text{m/s} = 15 \, \text{m/s}$
2. Calculate the acceleration:
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{15 \, \text{m/s}}{5 \, \text{s}} = 3 \, \text{m/s}^2$
Types of Acceleration
Acceleration can be classified into different types:
- Uniform Acceleration: The rate of change of velocity is constant over time, such as in free fall.
- Variable Acceleration: The rate of change of velocity varies over time, which can occur in cases like a car accelerating on a winding road.
Graphical Representation
Acceleration can be represented graphically. A velocity-time graph can help visualize acceleration. The slope of the line on a velocity-time graph indicates acceleration:
- Positive Slope: Indicates positive acceleration (speeding up).
- Negative Slope: Indicates negative acceleration (slowing down).
- Flat Line: Indicates constant velocity (no acceleration).
Relation to Newton's Laws
Acceleration is also related to Newton's second law of motion, which states that the force acting on an object is equal to the mass of the object multiplied by its acceleration:
$F = ma$
Where:
- $F$ is the net force acting on the object (measured in newtons, N).
- $m$ is the mass of the object (measured in kilograms, kg).
- $a$ is the acceleration (measured in m/s²).
Practical Applications
Understanding the rate of change of velocity has several practical applications, including:
- Transportation: Analyzing vehicle performance for safety and efficiency.
- Aerospace: Calculating thrust and fuel requirements for spacecraft.
- Sports: Improving athlete performance through understanding acceleration and speed.
In various fields, the rate of change of velocity plays a critical role in designing and evaluating systems and improving performance in dynamic environments.
MikeRun, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons
7.3- वेग के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Velocity)
जब कोई वस्तु गति में होती है, तो उसका वेग समय के साथ बदलता रहता है। इस परिवर्तन की दर को "वेग के परिवर्तन की दर" कहा जाता है। यह दर हमें यह बताती है कि समय के प्रति वेग में कितना परिवर्तन हुआ है। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि किसी वस्तु की गति को समझने के लिए हमें यह जानना आवश्यक होता है कि वह कितनी तेजी से अपनी दिशा या गति में बदलाव कर रही है।
1. वेग और त्वरित वेग (Velocity and Instantaneous Velocity)
वेग वह भौतिक राशि है जो किसी वस्तु की गति और दिशा को बताती है। जब हम एक विशिष्ट समय के दौरान वस्तु के वेग को मापते हैं, तो उसे तत्कालिक वेग (Instantaneous Velocity) कहा जाता है। इस समय विशेष पर वेग के बदलाव को समझने के लिए त्वरित वेग की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।
2. वेग में परिवर्तन (Change in Velocity)
वेग में परिवर्तन का मतलब है कि किसी वस्तु का वेग किसी विशेष समय के अंतराल में कितना बदला है। यह परिवर्तन केवल गति (speed) में नहीं, बल्कि दिशा में भी हो सकता है। अतः वेग के परिवर्तन में दोनों — गति और दिशा — का बदलाव शामिल है।
3. वेग के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Velocity)
वेग के परिवर्तन की दर को हम त्वरित वेग (acceleration) के रूप में परिभाषित करते हैं। यह समय के साथ वेग में बदलाव को व्यक्त करती है। इसे गणितीय रूप में इस प्रकार लिखा जाता है:
त्वरण (acceleration) $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
जहां, $\Delta v$ वेग में परिवर्तन (change in velocity) है और $\Delta t$ वह समय अंतराल है जिसमें यह परिवर्तन हुआ है।
4. समान त्वरित गति (Uniform Acceleration)
जब किसी वस्तु का वेग समान दर से बदलता है, तो इसे समान त्वरित गति (Uniform Acceleration) कहा जाता है। इस स्थिति में त्वरित गति का मान स्थिर होता है। उदाहरण के लिए, जब एक वस्तु किसी दिशा में स्थिर रूप से गिर रही होती है, तो उसका त्वरित गति स्थिर रहती है।
5. सूत्र (Formulae)
समान त्वरित गति में, वेग के परिवर्तन की दर की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
वेग का अंतिम मान $v = u + at$
यहां, $v$ अंतिम वेग है, $u$ प्रारंभिक वेग है, $a$ त्वरित गति (acceleration) है, और $t$ समय है।
6. त्वरित गति से दूरी की गणना (Calculating Distance with Acceleration)
अगर किसी वस्तु का प्रारंभिक वेग $u$ है, त्वरित गति $a$ है और समय $t$ है, तो उस वस्तु द्वारा तय की गई दूरी (distance) $s$ को निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:
दूरी $s = ut + \frac{1}{2}at^2$
यह सूत्र वस्तु के प्रारंभिक वेग, त्वरित गति और समय का उपयोग करके दूरी का पता लगाने में मदद करता है।
7. वेग के परिवर्तन के उदाहरण (Examples of Rate of Change of Velocity)
1. अगर एक गाड़ी 0 m/s से शुरू होकर 20 m/s तक पहुँचती है और यह परिवर्तन 5 सेकंड में होता है, तो इसका त्वरित गति $a$ इस प्रकार होगा:
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{5} = 4 \, m/s^2$
2. एक वस्तु गिर रही है और उसके प्रारंभिक वेग 0 m/s है, गिरते समय उसकी त्वरित गति $10 \, m/s^2$ होती है। 3 सेकंड में उसकी अंतिम गति $v$ इस प्रकार होगी:
$v = u + at = 0 + 10 \times 3 = 30 \, m/s$
इस प्रकार, वेग के परिवर्तन की दर किसी वस्तु के गति में बदलाव को समझने के लिए बहुत महत्वपूर्ण