10.3-Laws of Exponent
10.3-Laws of Exponent Important Formulae
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10.3 - Laws of Exponents
- Product of Powers: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- Quotient of Powers: $a^m \div a^n = a^{m-n}$
- Power of a Power: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Power of a Product: $(ab)^m = a^m \times b^m$
- Power of a Quotient: $(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$
- Zero Exponent: $a^0 = 1$ (where $a \neq 0$)
- Negative Exponent: $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
10.3 - Laws of Exponent
Exponents are used to express repeated multiplication of the same number. The laws of exponents provide a set of rules for manipulating exponents in mathematical expressions. Below are the key laws that govern exponents:
1. Product of Powers Rule
When multiplying two numbers with the same base, add their exponents. Mathematically, this is expressed as:
Formula: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
Example: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
2. Quotient of Powers Rule
When dividing two numbers with the same base, subtract the exponent of the denominator from the exponent of the numerator. This is expressed as:
Formula: $a^m / a^n = a^{m-n}$
Example: $3^5 / 3^2 = 3^{5-2} = 3^3$
3. Power of a Power Rule
When raising a power to another power, multiply the exponents. This rule can be written as:
Formula: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
Example: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
4. Power of a Product Rule
When raising a product to an exponent, distribute the exponent to each factor inside the parentheses. This is expressed as:
Formula: $(ab)^m = a^m \times b^m$
Example: $(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$
5. Power of a Quotient Rule
When raising a quotient to an exponent, apply the exponent to both the numerator and the denominator. This is expressed as:
Formula: $(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$
Example: $(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
6. Zero Exponent Rule
Any non-zero number raised to the power of zero is equal to 1. This can be written as:
Formula: $a^0 = 1$ (where $a \neq 0$)
Example: $5^0 = 1$
7. Negative Exponent Rule
If a number has a negative exponent, it represents the reciprocal of the number raised to the positive exponent. This rule is written as:
Formula: $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
Example: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
8. Fractional Exponent Rule
A fractional exponent represents both a root and a power. For example, $a^{1/n}$ represents the $n$-th root of $a$, and $a^{m/n}$ represents the $n$-th root of $a^m$. This is expressed as:
Formula: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ and $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$
Example: $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ and $27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$
9. Laws of Exponents for Like Bases
When exponents have the same base and are multiplied or divided, the corresponding rules can be applied in sequence to simplify expressions. The key to solving such problems is to follow the product and quotient laws while simplifying the powers.
10. Working with Mixed Exponents
In problems where there are multiple operations involving exponents, carefully apply the laws of exponents step by step to simplify the expression. Always look for the opportunity to combine like terms or simplify before performing the arithmetic operations.
10.3 - Laws of Exponent
घातांक (Exponent) के नियमों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि ये नियम गणना में सरलता लाते हैं। निम्नलिखित हैं घातांक के कुछ प्रमुख नियम:
1. गुणा करने का नियम (Product Rule)
जब दो संख्याओं के समान आधार (base) होते हैं और उन्हें गुणा किया जाता है, तो घातांक जोड़ दिए जाते हैं।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $a^m$ और $a^n$ दो संख्याएँ हैं, तो:
$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$
उदाहरण के लिए, यदि $2^3 \times 2^4$ दिया गया है, तो:
$$ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 $$
2. भाग करने का नियम (Division Rule)
जब समान आधार वाली दो संख्याओं को भाग किया जाता है, तो घातांक घटा दिए जाते हैं।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $a^m$ और $a^n$ दो संख्याएँ हैं, तो:
$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
उदाहरण के लिए, यदि $5^6 \div 5^3$ दिया गया है, तो:
$$ \frac{5^6}{5^3} = 5^{6-3} = 5^3 $$
3. घातांक में घातांक का नियम (Power of a Power Rule)
यदि किसी संख्या का घातांक एक और घातांक से गुणा किया जाता है, तो दोनों घातांक आपस में गुणा होते हैं।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $(a^m)^n$ दिया गया है, तो:
$$ (a^m)^n = a^{m \times n} $$
उदाहरण के लिए, यदि $(3^2)^4$ दिया गया है, तो:
$$ (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 $$
4. घातांक में गुणा करने का नियम (Power of a Product Rule)
जब किसी गुणनफल (product) का घातांक लिया जाता है, तो हर घटक को उसी घातांक से गुणा किया जाता है।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $(ab)^n$ दिया गया है, तो:
$$ (ab)^n = a^n \times b^n $$
उदाहरण के लिए, यदि $(2 \times 3)^4$ दिया गया है, तो:
$$ (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 $$
5. घातांक में भाग करने का नियम (Power of a Quotient Rule)
जब किसी भागफल (quotient) का घातांक लिया जाता है, तो हर घटक का घातांक लिया जाता है।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $(\frac{a}{b})^n$ दिया गया है, तो:
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$
उदाहरण के लिए, यदि $(\frac{4}{5})^3$ दिया गया है, तो:
$$ \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{4^3}{5^3} $$
6. घातांक में 0 का नियम (Zero Exponent Rule)
किसी भी संख्या का घातांक 0 होने पर उसका मान 1 होता है, बशर्ते आधार 0 न हो।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $a^0$ दिया गया है, तो:
$$ a^0 = 1 $$
उदाहरण के लिए, $7^0 = 1$।
7. घातांक में नकारात्मक संख्या का नियम (Negative Exponent Rule)
यदि किसी संख्या का घातांक नकारात्मक होता है, तो उसे उसके सकारात्मक घातांक के उलट (reciprocal) के रूप में लिखा जाता है।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $a^{-m}$ दिया गया है, तो:
$$ a^{-m} = \frac{1}{a^m} $$
उदाहरण के लिए, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$।
8. घातांक में दशमलव का नियम (Fractional Exponent Rule)
यदि घातांक एक भिन्न (fraction) है, तो इसे मूलांक (root) के रूप में लिखा जा सकता है।
यह नियम इस प्रकार है:
यदि $a^{\frac{m}{n}}$ दिया गया है, तो:
$$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $$
उदाहरण के लिए, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$।