9.6-Volume and Capacity
9.6-Volume and Capacity Important Formulae
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9.6 - Volume and Capacity
- Volume is the amount of space occupied by a 3D object.
- Capacity is the amount of liquid a container can hold.
- Formula for volume of a cube: $V = a^3$ where $a$ is the side length.
- Formula for volume of a cuboid: $V = l \times b \times h$ where $l$, $b$, and $h$ are the length, breadth, and height.
- Formula for volume of a cylinder: $V = \pi r^2 h$ where $r$ is radius and $h$ is height.
- Capacity is typically measured in liters (L) or milliliters (mL).
9.6 - Volume and Capacity
Volume and capacity are important concepts in mensuration. Volume refers to the amount of space occupied by a three-dimensional object, while capacity is the amount of liquid a container can hold. Both are measured in cubic units and are essential for understanding geometric shapes in the real world.
1. Volume of a Cuboid
The volume of a cuboid (rectangular box) is calculated by multiplying its length, width, and height. The formula is:
Formula: $V = l \times w \times h$
Where:
- $V$ is the volume of the cuboid
- $l$ is the length of the cuboid
- $w$ is the width of the cuboid
- $h$ is the height of the cuboid
2. Volume of a Cube
A cube is a special case of a cuboid where all sides are of equal length. The volume of a cube is calculated by cubing the length of one side. The formula is:
Formula: $V = a^3$
Where:
- $V$ is the volume of the cube
- $a$ is the length of a side of the cube
3. Volume of a Cylinder
The volume of a cylinder is determined by the area of its circular base multiplied by its height. The formula is:
Formula: $V = \pi r^2 h$
Where:
- $V$ is the volume of the cylinder
- $r$ is the radius of the circular base
- $h$ is the height of the cylinder
- $\pi$ is approximately 3.1416
4. Volume of a Cone
The volume of a cone is one-third of the product of the area of the base and the height. The formula is:
Formula: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Where:
- $V$ is the volume of the cone
- $r$ is the radius of the base
- $h$ is the height of the cone
- $\pi$ is approximately 3.1416
5. Volume of a Sphere
The volume of a sphere is determined by the formula:
Formula: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Where:
- $V$ is the volume of the sphere
- $r$ is the radius of the sphere
- $\pi$ is approximately 3.1416
6. Capacity
Capacity refers to the amount of liquid a container can hold. It is commonly measured in liters (L) or milliliters (mL) for smaller volumes. One liter is equal to 1000 milliliters.
When converting between volume and capacity, it's important to remember that the capacity of a container is generally expressed in terms of its internal volume, and liquids occupy space in the same way as solid objects. Therefore, the formulae for volume can also be used for calculating the capacity of containers.
7. Relation between Volume and Capacity
The volume of an object is often calculated in cubic units (like cubic meters or cubic centimeters), whereas capacity is usually measured in liters or milliliters. The conversion between the two depends on the context, such as the shape of the object and the material being measured (solid or liquid).
8. Units of Measurement
The standard units for measuring volume and capacity are:
- Cubic meter (m³)
- Cubic centimeter (cm³ or cc)
- Liter (L)
- Milliliter (mL)
To convert between these units, it is important to remember:
- 1 liter = 1000 milliliters
- 1 cubic meter = 1000 liters
- 1 cubic centimeter = 1 milliliter
9.6-Volume and Capacity
इस खंड में हम आयतन (Volume) और क्षमता (Capacity) के बारे में चर्चा करेंगे। आयतन और क्षमता, दोनों ही 3D (त्रैतीयक) आकृतियों की माप को दर्शाते हैं।
आयतन उस स्थान का माप होता है, जो एक वस्तु या आकृति अपने भीतर घेरती है। वहीं, क्षमता किसी कंटेनर में जितनी सामग्री (जैसे पानी) समा सकती है, उसे हम क्षमता कहते हैं।
आयतन और क्षमता के बीच अंतर यह है कि आयतन वस्तु के भौतिक रूप को दर्शाता है, जबकि क्षमता उस वस्तु के अंदर समाने वाली सामग्री को मापता है।
आयतन के लिए सूत्र (Volume Formulas)
1. घन (Cube): यदि घन की भुजा $a$ हो, तो घन का आयतन $V$ होगा:
$$ V = a^3 $$2. द्रव्यमान (Cuboid): यदि आयताकार घन के आयाम $l$, $b$, और $h$ (लंबाई, चौड़ाई, और ऊंचाई) हों, तो इसका आयतन $V$ होगा:
$$ V = l \times b \times h $$3. गोलार्द्ध (Cylinder): गोलार्द्ध का आयतन $V$ निम्नलिखित सूत्र से दिया जाता है, जहां $r$ गोलार्द्ध का त्रिज्या और $h$ उसकी ऊंचाई है:
$$ V = \pi r^2 h $$4. गोलक (Sphere): गोलक का आयतन $V$ निम्नलिखित सूत्र से दिया जाता है, जहां $r$ गोलक का त्रिज्या है:
$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$5. शंकु (Cone): शंकु का आयतन $V$ निम्नलिखित सूत्र से दिया जाता है, जहां $r$ शंकु का त्रिज्या और $h$ उसकी ऊंचाई है:
$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$क्षमता (Capacity)
क्षमता, किसी वस्तु के अंदर समाने वाली सामग्री को मापने के लिए होती है। क्षमता की माप में सामान्यत: लीटर या मिलीलिटर का उपयोग किया जाता है। 1 क्यूबिक सेंटीमीटर (cm³) = 1 मिलिलीटर (ml) और 1 क्यूबिक मीटर (m³) = 1000 लीटर के बराबर होता है।
आयतन और क्षमता के बीच संबंध
किसी वस्तु का आयतन और उसकी क्षमता लगभग समान होते हैं, क्योंकि दोनों ही वस्तु के अंदर समाने वाले स्थान का माप करते हैं। यदि हमें किसी घन के आयतन को लीटर में बदलना हो, तो हमें आयतन को 1000 से विभाजित करना होता है, क्योंकि 1 क्यूबिक मीटर में 1000 लीटर होते हैं।
उदाहरण:
1. यदि एक घन का आयतन 5000 क्यूबिक सेंटीमीटर है, तो उसकी क्षमता कितनी होगी?
यहां, 1 क्यूबिक सेंटीमीटर = 1 मिलिलीटर, तो 5000 क्यूबिक सेंटीमीटर = 5000 मिलिलीटर = 5 लीटर।
2. यदि एक गोलार्द्ध का त्रिज्या 7 मीटर है और उसकी ऊंचाई 10 मीटर है, तो उसका आयतन क्या होगा?
यहां, गोलार्द्ध का आयतन $V = \pi r^2 h$ होता है।
$$ V = \pi \times 7^2 \times 10 = 1540 \, \text{cubic meters} $$इस प्रकार, इस प्रकार के गणना से हम किसी भी आकृति का आयतन और क्षमता निर्धारित कर सकते हैं।