8.4-Multiplying a Monomial by a Polynomial
8.4-Multiplying a Monomial by a Polynomial Important Formulae
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8.4 - Multiplying a Monomial by a Polynomial
In this subtopic, we will explore how to multiply a monomial by a polynomial. A monomial is an algebraic expression consisting of a single term, whereas a polynomial consists of multiple terms. The process involves distributing the monomial to each term in the polynomial and then simplifying the result.
### Definition of a Monomial:
A monomial is a product of numbers and variables with whole number exponents. For example, $3x^2$, $-5y$, and $7ab^3$ are monomials.
### Definition of a Polynomial:
A polynomial is a sum of one or more monomials. For example, $3x^2 + 5x - 7$ is a polynomial with three terms.
### Steps for Multiplying a Monomial by a Polynomial:
To multiply a monomial by a polynomial, we use the distributive property. The distributive property states that for any numbers $a$, $b$, and $c$: $$a(b + c) = ab + ac$$ This means we multiply the monomial by each term in the polynomial one by one.
#### Example 1:
Multiply the monomial $3x$ by the polynomial $2x^2 + 4x - 5$.
Apply the distributive property:
$3x(2x^2 + 4x - 5)$
First, distribute $3x$ to the first term of the polynomial, $2x^2$:
$$3x \times 2x^2 = 6x^3$$Next, distribute $3x$ to the second term of the polynomial, $4x$:
$$3x \times 4x = 12x^2$$Finally, distribute $3x$ to the third term of the polynomial, $-5$:
$$3x \times (-5) = -15x$$The final result is:
$$6x^3 + 12x^2 - 15x$$#### Example 2:
Multiply the monomial $-2y$ by the polynomial $y^2 - 3y + 4$.
Apply the distributive property:
$-2y(y^2 - 3y + 4)$
First, distribute $-2y$ to the first term of the polynomial, $y^2$:
$$-2y \times y^2 = -2y^3$$Next, distribute $-2y$ to the second term of the polynomial, $-3y$:
$$-2y \times (-3y) = 6y^2$$Finally, distribute $-2y$ to the third term of the polynomial, $4$:
$$-2y \times 4 = -8y$$The final result is:
$$-2y^3 + 6y^2 - 8y$$### General Rule for Multiplying a Monomial by a Polynomial:
If a monomial is of the form $a \cdot x^m$ and the polynomial is of the form $b_1x^n + b_2x^{n-1} + \cdots + b_k$, then multiplying the monomial by the polynomial gives:
$$a \cdot x^m(b_1x^n + b_2x^{n-1} + \cdots + b_k) = a \cdot b_1x^{m+n} + a \cdot b_2x^{m+n-1} + \cdots + a \cdot b_kx^m$$### Important Points to Remember:
- Always apply the distributive property when multiplying a monomial by a polynomial.
- Multiply the coefficients (numbers) and add the exponents of like variables.
- Ensure that like terms are combined (if applicable) after distribution.
8.4-एक बहुपद से एकल पद का गुणा
जब हम एक बहुपद (Polynomial) को एकल पद (Monomial) से गुणा करते हैं, तो इसका मतलब है कि हमें उस एकल पद को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होता है। आइए इसे समझते हैं।
मान लीजिए हमारे पास एक एकल पद है $a$ और एक बहुपद है $b + c + d$। यदि हम $a$ को $(b + c + d)$ से गुणा करते हैं, तो हमें इसे इस प्रकार लिखना होगा:
प्रक्रिया:
- पहले $a$ को $b$ से गुणा करें: $a \cdot b$
- फिर $a$ को $c$ से गुणा करें: $a \cdot c$
- फिर $a$ को $d$ से गुणा करें: $a \cdot d$
इस प्रकार, $(a)(b + c + d)$ का परिणाम होगा:
$(a)(b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$
आइए इसे कुछ उदाहरणों से समझते हैं:
उदाहरण 1:
दिया गया है: $3x$ और $(4x^2 + 5x - 6)$। हमें $3x$ को $(4x^2 + 5x - 6)$ से गुणा करना है।
हम इसे प्रत्येक पद से गुणा करते हैं:
- $3x \cdot 4x^2 = 12x^3$
- $3x \cdot 5x = 15x^2$
- $3x \cdot (-6) = -18x$
इसलिए, पूर्ण परिणाम होगा:
$3x(4x^2 + 5x - 6) = 12x^3 + 15x^2 - 18x$
उदाहरण 2:
दिया गया है: $2a$ और $(3a^2 - 4a + 7)$। हमें $2a$ को $(3a^2 - 4a + 7)$ से गुणा करना है।
हम इसे प्रत्येक पद से गुणा करते हैं:
- $2a \cdot 3a^2 = 6a^3$
- $2a \cdot (-4a) = -8a^2$
- $2a \cdot 7 = 14a$
इसलिए, पूर्ण परिणाम होगा:
$2a(3a^2 - 4a + 7) = 6a^3 - 8a^2 + 14a$
सारांश:
एकल पद को बहुपद से गुणा करते समय, हमें उस एकल पद को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होता है। यह एक सरल प्रक्रिया है, जिसमें हम गुणन के गुणों का पालन करते हुए प्रत्येक पद का परिणाम जोड़ते हैं।