9.1-Introduction to Mensuration

9.1-Introduction to Mensuration Important Formulae

You are currently studying
Grade 8 → Math → Mensuration → 9.1-Introduction to Mensuration

9.1 - Introduction to Mensuration
  • Mensuration is the branch of mathematics that deals with the measurement of geometric shapes and their properties like area, volume, and perimeter.
  • Common figures studied in mensuration include squares, rectangles, circles, triangles, cuboids, and spheres.
  • The perimeter of a figure is the total distance around it, calculated differently for each shape.
  • The area of a shape represents the amount of space it covers. For example, the area of a rectangle is given by $A = l \times b$ where $l$ is length and $b$ is breadth.
  • Volume measures the space occupied by a 3D object, such as the volume of a cube, $V = a^3$, where $a$ is the side length.

9.1 - Introduction to Mensuration

Mensuration is the branch of mathematics that deals with the measurement of various geometric figures and their parameters such as length, area, and volume. It is crucial in both theoretical and practical applications such as architecture, engineering, and everyday life. In this section, we will learn about the basic concepts of mensuration, focusing on measuring lengths, areas, and volumes of different shapes.

In mensuration, we typically work with the following types of quantities:

  • Length: The measure of the distance between two points.
  • Area: The measure of the surface enclosed by a two-dimensional shape.
  • Volume: The measure of the space occupied by a three-dimensional object.

The basic units for these measurements in the International System of Units (SI) are:

  • Length: Meter (m)
  • Area: Square meter (m²)
  • Volume: Cubic meter (m³)

In mensuration, various formulas are used to calculate these quantities based on the shape of the object. The following are some fundamental formulas:

  • Perimeter of a Rectangle: The perimeter is the sum of all the sides of a rectangle.
    Formula: $P = 2(l + b)$
    where $l$ is the length and $b$ is the breadth of the rectangle.
  • Area of a Rectangle: The area of a rectangle is the product of its length and breadth.
    Formula: $A = l \times b$
    where $l$ is the length and $b$ is the breadth of the rectangle.
  • Area of a Triangle: The area of a triangle can be calculated as half the product of its base and height.
    Formula: $A = \frac{1}{2} \times b \times h$
    where $b$ is the base and $h$ is the height of the triangle.
  • Perimeter of a Circle (Circumference): The perimeter of a circle is known as its circumference, which is the distance around the circle.
    Formula: $C = 2 \pi r$
    where $r$ is the radius of the circle and $\pi$ is approximately 3.1416.
  • Area of a Circle: The area of a circle is the space enclosed within its boundary.
    Formula: $A = \pi r^2$
    where $r$ is the radius of the circle and $\pi$ is approximately 3.1416.
  • Volume of a Cube: The volume of a cube is the space it occupies in three dimensions.
    Formula: $V = a^3$
    where $a$ is the length of the side of the cube.
  • Volume of a Rectangular Prism (Cuboid): The volume of a cuboid is the product of its length, width, and height.
    Formula: $V = l \times b \times h$
    where $l$ is the length, $b$ is the breadth, and $h$ is the height of the cuboid.

Mensuration involves not only calculating the areas and volumes but also understanding the properties of various shapes and how to apply these formulas in real-world scenarios. These basic formulas provide the foundation for more complex calculations, which will be explored in further sections of the chapter.

9.1-परिमाण का परिचय

परिमाण (Mensuration) गणित की एक शाखा है जो आकारों, उनके क्षेत्रफल, आयतन, परिधि आदि के माप से संबंधित होती है। यह गणितीय संकल्पनाएँ विभिन्न ज्यामितीय रूपों के माप को समझने में मदद करती हैं, जैसे कि वृत्त, त्रिकोण, वर्ग, आयत, बेलन, शंकु, आदि। परिमाण का अध्ययन विशेष रूप से उन समस्याओं के समाधान में सहायक होता है, जहां आकारों के माप और उनके विभिन्न गुणों का निर्धारण करना होता है।

परिमाण के अंतर्गत हम निम्नलिखित प्रमुख विषयों का अध्ययन करते हैं:

  • क्षेत्रफल (Area): यह किसी द्वि-आयामी रूप (2D shapes) का माप होता है, जैसे वृत्त, त्रिकोण, आयत आदि का क्षेत्रफल।
  • परिधि (Perimeter): यह किसी द्वि-आयामी रूप के किनारों की कुल लंबाई होती है।
  • आयतन (Volume): यह त्रि-आयामी रूप (3D shapes) का माप होता है, जैसे घन, बेलन, शंकु आदि का आयतन।
  • सतही क्षेत्रफल (Surface Area): यह त्रि-आयामी रूप के सभी बाहरी सतहों का कुल क्षेत्रफल होता है।

परिमाण के अध्ययन में ज्यामिति के विभिन्न रूपों का उपयोग किया जाता है, और इन रूपों से संबंधित सूत्रों का ज्ञान होना आवश्यक होता है।

मुख्य सूत्र

कुछ प्रमुख ज्यामितीय रूपों के लिए परिमाण से संबंधित सूत्र निम्नलिखित हैं:

  • आयत का क्षेत्रफल: $A = ल \times ब$
  • वर्ग का क्षेत्रफल: $A = \text{द्वार}^2$
  • त्रिकोण का क्षेत्रफल: $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
  • वृत्त का क्षेत्रफल: $A = \pi r^2$
  • वृत्त की परिधि: $P = 2 \pi r$
  • घन का आयतन: $V = \text{द्वार}^3$
  • बेलन का आयतन: $V = \pi r^2 h$
  • शंकु का आयतन: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

इन सूत्रों का उपयोग करके हम विभिन्न ज्यामितीय रूपों का परिमाण निकाल सकते हैं, जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल, किसी घन का आयतन, या किसी वृत्त की परिधि।

अवधारणाएँ और प्रयोग

परिमाण का अध्ययन करते समय कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाएँ समझना आवश्यक हैं:

  • परिधि: किसी आकृति के किनारों की कुल लंबाई। उदाहरण के लिए, एक आयत के लिए, परिधि $P = 2(l + b)$ होगी।
  • क्षेत्रफल: किसी आकृति का वह क्षेत्र जो उसके अंदर होता है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
  • आयतन: त्रि-आयामी आकृतियों में किसी वस्तु के अंदर की पूरी जगह। जैसे बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।

परिमाण का अध्ययन विभिन्न आकृतियों की मापों को समझने और जीवन के विभिन्न पहलुओं में इन मापों का उपयोग करने के लिए महत्वपूर्ण है। इसका प्रयोग निर्माण, विज्ञान, तकनीकी कार्य, आर्किटेक्चर, और अन्य कई क्षेत्रों में किया जाता है।