9.2-Area of a Polygon
9.2-Area of a Polygon Important Formulae
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9.2 - Area of a Polygon
- Area of a polygon can be calculated by dividing it into simpler shapes like triangles and rectangles.
- For a regular polygon, the area is given by the formula: $A = \dfrac{1}{4} n a^2 \cot \left(\dfrac{\pi}{n}\right)$ where $n$ is the number of sides and $a$ is the length of a side.
- The area of an irregular polygon can be calculated using the method of triangulation or the shoelace theorem.
- For a triangle (a type of polygon), the area is $A = \dfrac{1}{2} \times base \times height$.
- The area of a quadrilateral can be calculated using the formula: $A = \dfrac{1}{2} \times (d_1 \times d_2)$ where $d_1$ and $d_2$ are the diagonals.
9.2 - Area of a Polygon
In this section, we will learn how to calculate the area of a polygon. A polygon is a closed figure with straight sides. Examples include triangles, quadrilaterals, pentagons, hexagons, etc. The area of a polygon refers to the space enclosed within its sides. The formula for the area depends on the type of polygon and its specific properties.
For a regular polygon, where all sides and angles are equal, we can calculate the area using the following formula:
Formula for Area of a Regular Polygon:
The area $A$ of a regular polygon with $n$ sides, each of length $a$, and apothem (the perpendicular distance from the center to the midpoint of a side) $p$ is given by:
$A = \frac{1}{2} \times n \times a \times p$
Where:
- $n$ = number of sides of the polygon
- $a$ = length of one side of the polygon
- $p$ = apothem of the polygon
For example, if we have a regular hexagon with side length 6 cm and an apothem of 5 cm, the area can be calculated as:
$A = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times 5 = 90$ cm²
For polygons that are not regular, the area calculation method varies depending on the specific shape and the available information.
Area of a Triangle
The area of a triangle is calculated using the formula:
$A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
Where:
- Base = the length of the base of the triangle
- Height = the perpendicular distance from the base to the opposite vertex
For instance, if the base of a triangle is 8 cm and its height is 5 cm, then the area of the triangle is:
$A = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20$ cm²
Area of a Quadrilateral
For a quadrilateral, the area can be calculated in different ways depending on the type of quadrilateral:
- Rectangle or Square: The area of a rectangle or square is given by:
$A = \text{length} \times \text{width}$
For a rectangle with length 10 cm and width 4 cm, the area is:
$A = 10 \times 4 = 40$ cm²
- Parallelogram: The area of a parallelogram is:
$A = \text{base} \times \text{height}$
For a parallelogram with a base of 12 cm and height of 6 cm, the area is:
$A = 12 \times 6 = 72$ cm²
- Trapezium: The area of a trapezium (trapezoid) is given by:
$A = \frac{1}{2} \times (\text{sum of parallel sides}) \times \text{height}$
For a trapezium with parallel sides of lengths 10 cm and 6 cm, and height 4 cm, the area is:
$A = \frac{1}{2} \times (10 + 6) \times 4 = 32$ cm²
Using the Shoelace Theorem
For an irregular polygon with known coordinates of its vertices, the area can be calculated using the Shoelace Theorem. Suppose the coordinates of the vertices of the polygon are $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$, where the vertices are listed in order. The area is calculated using the following formula:
$A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i \times y_{i+1} - y_i \times x_{i+1}) + (x_n \times y_1 - y_n \times x_1) \right|$
Where $n$ is the number of vertices. The terms $(x_i, y_i)$ and $(x_{i+1}, y_{i+1})$ represent the coordinates of consecutive vertices.
AREAS, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons
9.2-बहुपद का क्षेत्रफल
बहुपद (Polygon) एक समतल आकृति है जिसमें अधिकतम तीन या तीन से अधिक सीधी रेखाएं मिलकर एक बंद रूप बनाती हैं। बहुपद का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए विभिन्न विधियाँ होती हैं, जो उसकी परिभाषा और प्रकार पर निर्भर करती हैं।
जब हम एक नियमित बहुपद (Regular Polygon) की बात करते हैं, तो इसका मतलब है कि इसके सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण समान होते हैं। एक असामान्य बहुपद (Irregular Polygon) में भुजाएँ और कोण असमान हो सकते हैं। हम दोनों प्रकार के बहुपदों का क्षेत्रफल अलग-अलग तरीके से निकालते हैं।
1. नियमित बहुपद का क्षेत्रफल
एक नियमित बहुपद का क्षेत्रफल निकालने के लिए हम इसे छोटे-छोटे त्रिकोणों में विभाजित करते हैं। इस तरह के बहुपद में, प्रत्येक त्रिकोण का आधार बहुपद की भुजा होती है और ऊँचाई केंद्र से उस भुजा तक की दूरी होती है।
रोजगार सूत्र के रूप में, यदि एक नियमित बहुपद की भुजा $a$ और उसका मध्यक (apothem) $r$ हो, तो क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित सूत्र से निकाला जा सकता है:
$A = \dfrac{1}{2} \times P \times r$
जहाँ,
$P$ = परिधि (Perimeter) = संख्या of sides $\times$ length of one side = $n \times a$
$r$ = मध्यक (Apothem)
2. असामान्य बहुपद का क्षेत्रफल
असामान्य बहुपद का क्षेत्रफल निकालने के लिए हमें इसे त्रिकोणों या अन्य सरल रूपों में विभाजित करना पड़ता है। इस विधि में बहुपद को छोटे-छोटे भागों में बाँट कर हर भाग का क्षेत्रफल निकालते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं।
यदि बहुपद के सभी शीर्षांक $A_1, A_2, A_3, ..., A_n$ दिए गए हैं और हम इनको एक समकोण त्रिकोण के द्वारा जोड़ते हैं, तो क्षेत्रफल का सूत्र निम्नलिखित होता है:
$A = \dfrac{1}{2} \times \sum_{i=1}^{n} (x_i \times y_{i+1} - x_{i+1} \times y_i)$
यहां, $(x_i, y_i)$ और $(x_{i+1}, y_{i+1})$ बहुपद के दो आसन्न शीर्षांक होते हैं। यह सूत्र "Shoelace Theorem" (जूते की डोरी प्रमेय) के रूप में प्रसिद्ध है।
3. त्रिकोण और बहुपद का क्षेत्रफल
बहुपद के क्षेत्रफल को कई बार हम त्रिकोणों के जोड़ के रूप में निकाल सकते हैं। एक बहुपद के प्रत्येक त्रिकोण का क्षेत्रफल निकालकर, उन्हें जोड़ कर हम बहुपद का समग्र क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी नियमित बहुपद में, बहुपद को उसके केंद्र से जुड़े त्रिकोणों में विभाजित किया जा सकता है, और फिर प्रत्येक त्रिकोण का क्षेत्रफल निकाला जा सकता है।
इसके लिए, यदि बहुपद के केंद्र से किसी भुजा तक की दूरी $r$ और भुजा का आयतन $a$ हो, तो प्रत्येक त्रिकोण का क्षेत्रफल $A_t$ होगा:
$A_t = \dfrac{1}{2} \times a \times r$
फिर, सभी त्रिकोणों के क्षेत्रफल को जोड़ने पर, हम बहुपद का कुल क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं।