11.2-Direct Proportion
11.2-Direct Proportion Important Formulae
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11.2 - Direct Proportion
- In direct proportion, as one quantity increases, the other also increases at a constant rate.
- Mathematically, if two quantities, $x$ and $y$, are in direct proportion, then $y \propto x$ or $y = kx$, where $k$ is a constant.
- The constant $k$ is called the constant of proportionality.
- If $x_1, y_1$ and $x_2, y_2$ are two pairs of values in direct proportion, then $ \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$.
- Example: If $y = 3x$, when $x = 2$, $y = 6$.
11.2-Direct Proportion
In this subtopic, we will understand the concept of Direct Proportion, one of the important relationships in mathematics, particularly in the context of ratios and proportions.
Definition: When two quantities increase or decrease in such a way that they always maintain the same ratio, they are said to be in direct proportion. In other words, the ratio between two variables remains constant. This means that as one quantity increases, the other also increases in the same proportion, or as one quantity decreases, the other decreases in the same proportion.
Mathematical Representation: If two quantities, say $x$ and $y$, are in direct proportion, we can express this relationship as:
x \propto y or y = kx
Where $k$ is a constant, called the constant of proportionality. This means that the ratio of $x$ to $y$ is always equal to $k$. Therefore, we can write the equation as:
\frac{x}{y} = k
Example 1: If $x = 2$ and $y = 4$, and we know that $x$ and $y$ are in direct proportion, we can find the constant $k$ as:
k = \frac{x}{y} = \frac{2}{4} = 0.5
Now, if $x = 6$, we can use the formula $y = kx$ to find the value of $y$:
y = 0.5 \times 6 = 3
Properties of Direct Proportion:
- The ratio of the two quantities is always constant.
- If one quantity increases, the other increases proportionally.
- If one quantity decreases, the other decreases proportionally.
- The graph of two quantities in direct proportion is a straight line passing through the origin (0,0).
Example 2: If the cost of 5 apples is ₹50, we can say the cost of apples is in direct proportion to the number of apples. Let the cost of 1 apple be $C$, then:
Cost = k \times \text{number of apples}
We know that when the number of apples is 5, the cost is ₹50, so:
50 = k \times 5 \Rightarrow k = \frac{50}{5} = 10
Thus, the cost of 1 apple is ₹10. Therefore, the cost of $n$ apples would be:
Cost = 10n
Formulae for Direct Proportion:
- If $x$ and $y$ are in direct proportion, then $y = kx$.
- The constant of proportionality is $k = \frac{x}{y}$.
- If $x_1$ and $y_1$ are related by direct proportion, and $x_2$ and $y_2$ are another set of values, then:
x_1 / y_1 = x_2 / y_2x_1 y_2 = x_2 y_1
Direct proportion is a fundamental concept used in solving problems related to speed, cost, time, and many other areas of daily life. The key takeaway is that the relationship between the quantities in direct proportion is always represented by a constant ratio.
11.2 - Direct Proportion
प्रत्यक्ष अनुपात (Direct Proportion) तब होता है जब दो मात्राएँ एक दूसरे के साथ सीधे संबंध में होती हैं, यानी एक राशि के बढ़ने पर दूसरी राशि भी बढ़ती है, और एक राशि के घटने पर दूसरी राशि भी घटती है। इसे "सिधा अनुपात" भी कहा जाता है।
यदि दो राशियाँ $x$ और $y$ प्रत्यक्ष अनुपात में हैं, तो यह निम्नलिखित तरीके से व्यक्त किया जाता है:
अर्थात, यदि $x$ और $y$ प्रत्यक्ष अनुपात में हैं, तो:
$x \propto y$ या $\frac{x}{y} = k$
जहाँ $k$ एक स्थिरांक (constant) होता है, जिसे अनुपात का स्थिरांक कहा जाता है।
इसका मतलब है कि $x$ और $y$ के बीच अनुपात हमेशा स्थिर रहता है।
यदि $x_1$ और $x_2$ दो विभिन्न मान हों और $y_1$ और $y_2$ उनके संबंधित मान हों, तो:
$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$
यह नियम हमें यह बताता है कि दो राशियाँ हमेशा एक दूसरे के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में रहती हैं, अगर उनका अनुपात एक स्थिरांक के बराबर होता है।
उदाहरण: मान लीजिए, एक व्यक्ति 3 घंटे में 180 किलोमीटर की यात्रा करता है। अगर हम जानना चाहते हैं कि वह 5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगा, तो हम इसे प्रत्यक्ष अनुपात के आधार पर हल कर सकते हैं।
यहाँ, दूरी और समय दो राशियाँ हैं जो प्रत्यक्ष अनुपात में हैं। यदि 3 घंटे में 180 किलोमीटर तय किया गया, तो:
$\frac{3}{180} = \frac{5}{x}$
यहाँ, $x$ वह दूरी है जो 5 घंटे में तय की जाएगी।
समीकरण को हल करके हम पाएंगे:
$x = \frac{5 \times 180}{3} = 300$
इस प्रकार, 5 घंटे में 300 किलोमीटर की यात्रा की जाएगी।
किसी भी अनुपात को हल करते समय यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि हम सही तरीके से प्रत्येक मात्राओं के बीच स्थिर अनुपात बनाए रखें।
कभी-कभी हम "क" (constant) को निर्धारित करके अन्य जानकारी निकाल सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि $y = kx$ और हमें $k$ का मान दिया गया है, तो हम दूसरे मानों को सरलता से निकाल सकते हैं।
ध्यान रखें कि प्रत्यक्ष अनुपात तब ही सही होता है जब दोनों राशियाँ एक दूसरे के साथ सीधे रूप से बढ़ती या घटती हैं।