7.5-Equations of Motion

7.5-Equations of Motion Important Formulae

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  • Extrapolate velocity-time graphs to derive velocity-time, position-time & position-velocity relations.




7.5- गति के समीकरण (Equations of Motion)

गति के समीकरणों का उपयोग एक वस्तु की गति के विश्लेषण में किया जाता है। ये समीकरण वस्तु की स्थिति, गति, समय और त्वरण के बीच सम्बन्ध को व्यक्त करते हैं। इन समीकरणों को समझने के लिए, यह जरूरी है कि वस्तु एक समान त्वरण (uniform acceleration) के साथ गति कर रही हो।

गति के तीन प्रमुख समीकरण होते हैं, जो निम्नलिखित हैं:

पहला समीकरण

यह समीकरण वस्तु की अंतिम गति ($v$) और प्रारंभिक गति ($u$) के बीच सम्बन्ध को दर्शाता है। यदि वस्तु की त्वरण $a$ है और वह $t$ समय में गति करती है, तो:

Formula: $v = u + at$

दूसरा समीकरण

यह समीकरण वस्तु के संचलन (displacement) $s$ और उसके गति-सम्बन्धी मानों के बीच सम्बन्ध को व्यक्त करता है। इसमें प्रारंभिक गति $u$, त्वरण $a$ और समय $t$ को शामिल किया जाता है:

Formula: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$

तीसरा समीकरण

यह समीकरण वस्तु के संचलन ($s$) को उसकी अंतिम गति ($v$), प्रारंभिक गति ($u$) और त्वरण ($a$) के आधार पर व्यक्त करता है। इसमें समय का कोई संबंध नहीं होता:

Formula: $v^2 = u^2 + 2as$

इन समीकरणों का उपयोग तब किया जाता है जब वस्तु पर एक समान त्वरण लागू हो, यानी त्वरण समय के साथ बदलता नहीं है। यह स्थिति तब होती है जब कोई बाहरी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण) वस्तु पर समान तरीके से कार्य करता है।

समीकरणों का अनुप्रयोग

इन समीकरणों का उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं में किया जा सकता है, जैसे कि:

  • वस्तु की गति का अनुमान लगाना, जब उसकी प्रारंभिक गति और त्वरण ज्ञात हो।
  • किसी वस्तु के गति की दिशा और गति का समय में परिवर्तन समझना।
  • वस्तु के द्वारा तय की गई दूरी का हिसाब लगाना।

यह महत्वपूर्ण है कि इन समीकरणों का प्रयोग करने से पहले वस्तु की गति के प्रकार और त्वरण की स्थिति को ठीक से समझ लिया जाए।

त्वरण (Acceleration) और इसकी एकाइयाँ

त्वरण वह दर है, जिससे गति में परिवर्तन होता है। इसका गणना सूत्र है:

Formula: $a = \frac{v - u}{t}$

यहाँ, $v$ अंतिम गति है, $u$ प्रारंभिक गति है और $t$ समय है।

त्वरण की इकाई SI प्रणाली में मीटर प्रति सेकंड² ($\text{m/s}^2$) होती है।

महत्वपूर्ण बिंदु
  • गति के इन समीकरणों को केवल तब लागू किया जा सकता है जब त्वरण स्थिर हो (यानि एक समान हो)।
  • यह समीकरण वस्तु की गति और स्थान के सम्बन्ध को एक सरल और प्रभावी तरीके से व्यक्त करते हैं।

1. A bus starting from rest moves with a uniform acceleration of 0.1 m s$^{-2}$ for 2 minutes. Find:
(a) The speed acquired,
(b) The distance travelled.

2. A train is travelling at a speed of 90 km h$^{-1}$. Brakes are applied so as to produce a uniform acceleration of – 0.5 m s$^{-2}$. Find how far the train will go before it is brought to rest.

3. A trolley, while going down an inclined plane, has an acceleration of 2 cm s$^{-2}$. What will be its velocity 3 s after the start?

Solution:
1(a). \begin{align*} v &= u + at\\ &= 0 + (0.1) \times (2 \times 60)\\ &= 12\ \mathrm{m/s} \end{align*} 1(b). \begin{align*} s &= ut + \dfrac{1}{2}at^2\\ &= 0 + \dfrac{1}{2}(0.1)(120)^2\\ &= 0 + \dfrac{1}{2}(1440)\\ &=720\ \mathrm{m} \end{align*}

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